Persamaan Bernoulli (persamaan dasar mekanika fluida)

Menggunakan aturan-aturan yang ada di alam, manusia dapat memanfaatkan prinsip-prinsip yang sama untuk mengembangkan sistem-sistem engineering yang dapat merubah dunia. Dalam mekanika fluida, terdapat satu persamaan yang cukup fenomenal karena simplisitasnya dan kegunaanya yang sangat luar biasa, serta prinsip ini adalah salah satu dari hukum dasar alam semesta, hukum Bernoulli.

Terdapat tiga hukum alam yang cukup mendasar untuk bekerjanya alam semesta ini, yaitu (1) Hukum kekekalan massa, (2) Hukum kekekalan momentum dan (3) Hukum kekekalan energi. Dalam ilmu mekanika solid, hukum kekekalan momentum ini dijelaskan oleh hukum kedua Newton tentang F = m.a, sedangkan dalam mekanika fluida, hukum ini dideskripsikan menggunakan hukum Bernoulli (sebenarnya bentuk yang lebih umum dari bentuk ini adalah persamaan Navier-Stokes, yang akan kita bahas pada artikel lain).

Untuk memahami prinsip ini, pertama-tama mari kita buat formalisasi menggunakan persamaan matematis yang diturunkan dari kasus berikut:

skema penurunan persamaan Bernoulli

Menggunakan hubungan energi mekanik yang sudah sangat umum kita pahami kita dapat menyelesaikan pula persamaan fluida untuk kasus di atas. Persamaan energi mekanik dituliskan sebagai berikut:

Dengan m = massa, v = kecepatan, g = persamaan gravitasi dan H = ketinggian. Pada aliran pipa, secara umum terdapat gaya pendorong seperti pompa atau penghisap, sehingga persamaan di atas perlu kita modifikasi dengan tambahan energi dari tekanan:

Dengan P = tekanan dan V = volume. Kemudian, kita ketahui bahwa dalam kasus fluida seperti pipa atau aliran sungai, kita akan sangat kerepotan menghitung total massa atau volume sepanjang pipa atau sungai tersebut, sehingga kita perlu ubah persamaan di atas dengan cara membagi kedua ruas dengan Volume:

Dengan rho = massa jenis. Persamaan di atas adalah persamaan Bernoulli yang cukup terkenal. Persamaan ini cukup berguna karena dapat memprediksikan dengan sangat baik hubungan ketinggian, tekanan dan kecepatan pada fluida. Misalkan, sebagai contoh kita dapat abaikan perubahan ketinggian dan massa jenis (incompressible), kita dapat peroleh hubungan sebagai berikut:

Hubungan diatas cukup menarik, terdapat hubungan yang berbanding terbalik (secara kuadratis) antara kecepatan dengan tekanan. Perhatikan aliran pada venturi berikut ini:

Berdasarkan hukum kontinuitas (pelajari di sini), kita tahu bahwa semakin sempit luas penampang melintang aliran, maka kecepatan akan semakin tingi (terlihat warna merah pada bagian tengah). Pada daerah dengan kecepatan yang tinggi tersebut (bagian tengah), maka tekanan pada daerah tersebut akan menjadi rendah. Prinsip ini sering kali digunakan untuk desain venturi.

Kemudian, prinsip serupa juga diterapkan untuk desain airfoil sayap pesawat terbang sebagai berikut:

Karena jarak tempuh fluida yang lebih jauh pada bagian atas airfoil, kecepatan pada daerah tersebut menjadi tinggi (penjelasan lebih detail dapat dibaca di sini). Berdasarkan hukum Bernoulli, dapat kita harapkan bahwa tekanan pada bagian atas tersebut menjadi lebih rendah dibandingkan dengan bagian bawah, sehingga sayap pesawat dapat “terhisap” ke atas dan membuat pesawat menjadi terbang ke udara.

Hubungan antara kecepatan dan tekanan di atas sering kali disalahpahami oleh sebagian orang. Jika semakin tinggi kecepatan maka tekanan akan semakin rendah, lalu kenapa ketika kita disemprot menggunakan selang air dengan kecepatan yang semakin tinggi, tekanan yang kita rasakan akan semakin rendah? Yang terjadi sebenarnya adalah air yang menghantam kita dengan kecepatan yang tinggi akan berhenti sehingga kecepatan akan mendekati nol, perubahan kecepatan yang tinggi menjadi sangat rendah tersebut membuat tekanan yang mulanya rendah menjadi sangat tinggi saat mengenai kita, maka hukum Bernoulli tetap berlaku dengan baik pada kasus ini.

Kemudian, kasus lain yang cukup sering dibahas menggunakan hukum bernoulli ini adalah teorema Toricelli. Perhatikan diagram di bawah ini:

diagram teorema Toricelli

Karena bagian atas bak dan bagian bawah yang terbuka dan langsung terpapar dengan tekanan atmosfer, maka P1 = P2. Kemudian, kecepatan pada bagian atas bak dapat kita abaikan karena jauh lebih kecil daripada kecepatan pada bagian bawah V1 >> V2 -> V2 ~ 0. Kemudian ambil H = H1-H2, Sehingga persamaan bernoulli dapat disederhanakan menjadi:

Persamaan simpel dan elegan ini dapat dengan sangat baik menjelaskan pengaruh ketinggian dengan kecepatan aliran yang memancar dari bawah tandon air. Dan masih banyak lagi kasus yang dapat dijelaskan dengan hukum Bernoulli.

Namun, tentunya terdapat banyak keterbatasan dari hukum ini karena proses penyederhanaanya yang cukup banyak dalam menjabarkanya, berikut adalah batasan-batasan dari hukum Bernoulli:

  1. Aliran steady (tunak) : yaitu aliran yang tidak berubah-ubah terhadap waktu, misalkan terjadi perubahan pola kecepatan dan tekanan tiap detik maka hukum Bernoulli tidak berlaku.
  2. Aliran inviscid: yaitu aliran dengan viskositas yang diabaikan, perlu kita ketahui bahwa pada setiap aliran fluida pasti akan terdapat efek “menempel” antara molekul fluida dengan fluida lainya maupun dengan diding solid. hal ini tidak terakomodasi oleh persamaan Bernoulli.
  3. Tidak ada input daya mekanik: Maksudnya tidak terdapat gangguan berupa putaran pompa, kompressor, fan dll yang mengubah pola aliran.
  4. Aliran incompressible: yaitu aliran dengan massa jenis yang tidak berubah-ubah, misalkan pada udara dengan kecepatan rendah (<0.3 kecepatan suara) ataupun aliran liquid secara umum.
  5. Tidak ada perpindahan kalor: yaitu tidak terjadi interaksi penambahan atau pengurangan enegi dalam bentuk perubahan temperatur atau massa jenis yang mengubah pola aliran.
  6. Aliran sepanjang streamline: poin ini cukup penting; persamaan Bernoulli hanya berlaku untuk aliran yang dirunut dari inlet hingga outlet tanpa jalur aliran yang terputus baik karena separasi atau percabangan pipa.

Untuk persamaan mekanika fluida yang lebih komprehensif (mencakup aliran unsteady, compressible dll) anda dapat mempelajari lebih lanjut pada pembahasan persamaan Navier-Stokes.

Untuk mempelajari lebih lanjut tentang CFD, klik di sini.

Untuk mempelajari artikel-artikel lain terkait mekanika fluida, klik di sini

By Caesar Wiratama

aeroengineering.co.id merupakan jasa layanan dibawah CV. Markom dengan berbagai jenis solusi, mulai dari drafting CAD, pembuatan animasi, simulasi aliran dengan CFD dan simulasi struktur dengan FEA. Pelajari selengkapnya di sini.

Author: Caesar Wiratama

caesar@aeroengineering.co.id 0815-4806-5205

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *